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Oignon Fugace

Chronique #2 – Le dernier théorème de Fermat, par Simon Singh

« Il est impossible pour un cube d’être écrit comme la somme de deux cubes ou pour une quatrième puissance d’être écrite comme la somme de deux quatrièmes puissances ou, en général, pour n’importe quel nombre égal à une puissance supérieure à deux, d’être écrit comme la somme de deux puissances semblables. »

Autrement dit, x^n + y^n = z^n impossible quand n est strictement plus grand que 2.  

« J’ai une démonstration véritablement merveilleuse de cette proposition, que cette marge est trop étroite pour contenir. »

Voici l’observation que Pierre de Fermat écrivit aux alentours de 1637 en marge de son exemplaire de l’Arithmetica. Un défi parmi tant d’autres, lancé au monde des mathématiques par celui qu’on surnomme alors le « prince des amateurs ». C’est toutefois ce défi-là, bien précisément, qui se révèlera, par la suite, bien plus légendaire qu’il ne l’était destiné.

Sur cette simple remarque, un poil exaspérante, est né l’un des plus grands problèmes mathématiques de l’histoire. Le dernier Théorème de Fermat.

Les péripéties qui suivirent, ainsi que celles qui précédèrent, sont telles qu’elles ont bien méritées qu’un auteur s’y attarde le temps d’un ouvrage. Et qui de mieux que Simon Singh pour accomplir cette tâche ? En tant qu’écrivain vulgarisateur de sujets mathématiques, je crains qu’il soit sans égal. Son livre Le Dernier Théorème de Fermat, dont nous allons traiter dans ce billet, nous le prouve magistralement.

Vous connaissez mon intérêt pour les mathématiques. Je me suis vite trouvé en quête d’un bouquin qui me permettrait d’entretenir la flamme de la passion. J’ai lu le bien connu Théorème Vivant de Cédric Villani, mais celui-ci m’a laissé sur ma faim. J’avais besoin de quelque chose de moins autocentré, quelque chose d’inspirant. J’ai alors découvert Le Dernier Théorème de Fermat ; et quel ne fut pas un bon choix que de me plonger dans cette lecture !

Voyons quelles en sont les raisons.

#Une épopée mathématique

Il aura fallu près de quatre siècles pour que ce graal des mathématiques livre enfin ses secrets. L’exploit revient au mathématicien écossais Andrew Wiles, dans les années 90. Naturellement une bonne partie du livre lui est réservée. Toutefois, bien avant lui, bon nombre de savants hors pair s’y sont cassé les dents. N’est-il pas fascinant de voir que ce problème puisse être compris par tout collégien familier du théorème de Pythagoreet qu’il soit malgré tout d’une complexité monstre à démontrer ?  

Pythagore. Voici sur qui commence le livre. Loin de plonger directement dans les tentatives de résolutions infructueuses, Simon Singh commence par poser les fondations de la théorie des nombres, sur lesquelles repose le Dernier Théorème. Cela nous projette alors au commencement même des mathématiques, là où la preuve logique s’impose sur la simple intuition, et la simple utilisation des principes. Les mathématiques n’apparaissent plus seulement comme utiles, mais comme quête désintéressée de la connaissance. « Tout est nombre » disait Pythagore. L’auteur attise ainsi sans plus attendre notre intérêt pour cette simple beauté mathématique, et de surcroît, nous propose une excellente introduction à ce concept de preuve, qu’il poursuivra tout au long du livre à travers de multiples petites énigmes qui éveilleront notre curiosité.

Vient ensuite Euclide et l’existence des nombres rationnels. Puis Diophante d’Alexandrie avec son fameux ouvrage, l’Arithmetica, sur lequel, plus d’un millénaire plus tard, Fermat inscrira son Dernier Théorème. L’introduction de toutes ces figures emblématiques des mathématiques nous permet de plonger dans les palpitantes péripéties de la bibliothèque d’Alexandrie. Ce haut lieu de la connaissance construit, détruit et reconstruit à plusieurs reprises par un mélange d’érudition, de malchance et de fanatisme religieux.

Voici à peu près comment fonctionne Simon Singh ; à son savant son époque, à son époque son contexte et ses découvertes. Celles-ci qui tendent à faire progresser le savoir, et ce fameux Dernier Théorème, bien entendu.

Ainsi nous découvrons les nombres complexes grâce à Euler au XVIIIème siècle, qui lui permettront d’avancer dans la résolution du Dernier Théorème, sans pour autant pouvoir le démontrer. Vient la notion d’invariant avec le problème de la Rivière Pregel. La notion d’infini avec Hiblert et son hôtel. La place de la femme dans les mathématiques au XVIIIème et XIXème siècle, avec Sophie Germain, alias Monsieur Le Banc. Le concept de factorisation unique avec Kummer, qui viendra infirmer les travaux de Lamé et Cauchy sur le Dernier Théorème. Le théorème d’indécidabilité de Kurt Gödel, qui allait forcer les mathématiciens à admettre que les mathématiques ne seraient jamais logiquement parfaites. Le Dernier Théorème serait-il indémontrable ?

Vient Sam Loyd, « le plus grand faiseur d’énigmes » et son fameux puzzle 14-15. Wolfskel, sa passion pour le Dernier Théorème et son prix décerné à celui qui le démontrerait. Turing, la cryptographie et son implication mathématique dans la guerre de 39-45, qui marquera la genèse des machines à calculer performantes. Taniyama et Shimura, deux génies très en avance sur leurs temps, et leur conjecture décrivant un lien entre les formes modulaires et les fonctions elliptiques. Gerhard Frey et Ken Ribet, qui démontreront par l’absurde, le lien direct entre cette conjecture et le Dernier Théorème. Evariste Galois, cet esprit brillant à la destinée tragique.

Ce n’est là qu’un aperçu de la complétude de ce livre ! Je pourrais encore citer Gauss, John Von Neumann, André Weil, Ramanujan, la transition des nombres romains aux chiffres arabes, l’introduction des nombres négatifs, les nombres premiers, les groupes cycliques, le nombre pi, les triplets pythagoriciens, mais on ne s’en sortirait plus !

Le plus impressionnant, c’est que Simon Singh arrive à rendre toute cette complexité apparente incroyablement simple, passionnante et limpide. Le lecteur se prend au jeu de cette intrigue à suspens, découvre, apprend, sans jamais se lasser.

Peut-être devrions-nous intégrer aux cursus scientifiques l’étude de quelques-uns de ces livres. Il est alors certain que quelques intérêts – perdus au travers de cours trop formalistes – ressurgiraient.

#Autod​​​​idactisme

Cette plongée dans la vie des plus grands mathématiciens de l’histoire nous fait prendre conscience que bon nombre d’entre eux ont beaucoup appris par eux-mêmes. Le plus connu de ces autodidactes est sans nul doute Srinivasa Ramanujan, qui acquit ses connaissances de deux uniques livres qu’il se procura avant l’âge de seize ans. Pierre de Fermat lui-même n’était, semble-t-il, pas destiné aux exploits qu’on lui connait en mathématiques. Il suivit des études de droit, puis loin de la sphère scientifique, exerça une activité juridique pour le compte du roi. Ce n’est que son ardente passion ainsi que son unique maître – l’Arithmetica de Diophante – qui le poussa dans ses travaux sur la théorie des nombres. Doit-on parler de Sophie Germain, qui fut contrainte d’utiliser un nom masculin pour étudier et faire connaitre ses recherches. On comprend alors facilement qu’elle n’était guère encouragée à l’étude des mathématiques.

Toutefois le récit qui m’a le plus interpellé est celui de Gorō Shimura, dont l’éducation fut fort troublée par le contexte de l’époque. Bien qu’il du participer à l’effort de guerre en 39-45, il mit à profit tout son temps libre pour combler le temps perdu. Ce n’est pas si naturellement qu’il se dirigea vers les mathématiques, mais plutôt par commodité, cette matière ne nécessitant pas de matériel coûteux qu’il ne pouvait se procurer. Quelques bons livres suffisaient – et c’est ainsi qu’un génie pu naître.

« Je n’ai jamais pensé que j’étais doué. J’étais simplement curieux. »

Goro Shimura

L’autodidactisme ne peut se suffire à lui-même. Toutefois je trouve bon de s’inspirer de ceux qui suivent cette démarche, car s’ils partagent une caractéristique commune, c’est bien leur passion ardente pour leur sujet d’étude. Ainsi nous découvrons qu’il est possible de travailler intensément et passionnément pour une finalité autre que l’utile et la bonne place dans la société – au fond très insatisfaisante. Au-delà de ce jugement qui, je vous l’accorde porte à débat, l’étude de la vie de ces quelques personnalités témoigne d’une éducation non nécessairement réservée à l’école. Il existe une multitude d’autres moyens de s’en procurer une. Et j’ai pourtant la triste impression que cette perspective est bien trop peu développée de nos jours. Ce blog permettra, je l’espère, de faire germer quelques nouveautés à ce sujet.

#Communiquer avec le subconscient

Voici une dernière chose dont j’aimerais vous parler : la manière dont Andrew Wiles aborde ses problèmes mathématiques les plus challengeants. Résoudre le Dernier Théorème requiert bien plus que de simples connaissances sur le sujet – quand bien même elles soient solides. Outre la persévérance, il semble qu’un ingrédient supplémentaire vienne se glisser dans l’équation. Une touche d’intuition – de génie. Evidemment allez-vous me dire. Certes, mais cette touche n’est pas si inatteignable qu’elle en a l’air. Andrew Wiles dispose assurément de solides connaissances en mathématiques. Mais une fois celles-ci acquises, il devient capable de libérer son esprit des contraintes techniques pour le concentrer sur ce dont il a vraiment besoin : créer l’intuition.

Ce que ça donne en pratique ? Lui-même le résume très bien : « A la base, c’est un tour d’esprit. Parfois, on prend des notes pour clarifier ses pensées, mais pas nécessairement. En particulier, quand on est arrivé à une véritable impasse et quand il y a un vrai problème, le processus ordinaire de réflexion mathématique ne sert à rien. Pour atteindre cette idée nouvelle, il faut qu’il y ait eu auparavant une longue période de formidable concentration sur le problème, sans aucune distraction. Il faut ne penser à rien d’autre qu’à ce problème, seulement se concentrer dessus. Après on arrête. Suit une période qui ressemble à la détente, durant laquelle il semble que ce soit le subconscientqui prend la direction des opérations, et c’est alors qu’on a des idées nouvelles. »

Et c’est alors que naît l’imagination créatrice. Celle qui crée les idées à la racine des plus grandes découvertes ou des plus grandes inventions de notre monde. Cette notion de subconscient, je l’ai découverte grâce aux travaux de Napoléon Hill. Selon lui, un esprit bien préparé pourrait faire appel, via son subconscient, à ce qu’il appelle « l’intelligence Infinie ». Un domaine supérieur d’intelligence extérieur au cerveau humain.

La longue période de formidable concentration dont nous parle Andrew Wiles lui permet de nourrir son subconscient d’informations bien spécifiques. Une fois l’esprit au repos, celui-ci serait alors capable de les traiter et de renvoyer une réponse que le conscient pourrait intercepter. L’intelligence infinie intervient dans ce traitement. Ou n’est-ce que le résultat de mécanismes cérébraux qui me serait encore inconnu ?

Etant très scientifique dans l’âme, je ne peux que mettre cette idée à l’épreuve et me questionner sur sa pertinence. Napoléon Hill lui-même appuie ses travaux sur d’innombrables études de cas. Et de mon côté, plus je lis, plus je me rends compte que cette idée semble avoir son penchant de vérité. Ce dernier livre ne fait pas exception.

J’ai conscience que tout cela est encore confus et qu’il faudra que je développe sur le sujet. Quoi qu’il en soit, il y a là matière à penser, et cette lecture du Dernier Théorème de Fermatvient une fois de plus renforcer l’idée que je me fais du fonctionnement de l’esprit humain.

#Et quel théorème ! 

Vous l’aurez compris, outre le Dernier Théorème de Fermat, Simon Singh nous propose dans son ouvrage – aux faux airs de livre scientifique – une véritable plongée dans les méandres de la théorie des nombres ; ainsi que quelques réflexions annexes auxquelles j’ai été sensible.

Il faut dire que cette quête de livres inspirants sur les mathématiques m’a mené sur un petit bijou de vulgarisation. Je ne saurais que trop le recommander à qui souhaite se plonger, ou replonger dans cette matière qui souvent rebute – bien à tort. Loin de paraître froide ou inaccessible, Simon Singh la rend on ne peut plus vivante et passionnante. On se surprendrait même à penser les mathématiques à portée de mains ! Elles nécessitent beaucoup de travail bien entendu, mais quand la flamme de l’enthousiasme est là, peu de choses nous font obstacle.

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JDB #Semaine 6 : Nouvelles dispositions – pour mieux vous servir

Aujourd’hui, rapide bilan sur l’avancée du blog. Six semaines écoulées depuis la rentrée – pour six « Journal de Bord » et une chronique de livre. Pas de Study Tips comme je les annonçais dans le JDB#1. Problème.

S’il y a une chose dont je suis satisfait, c’est l’évolution de mes capacités à écrire relativement bien, assez rapidement. C’est d’ailleurs l’une des raisons d’existence des JDB. De pouvoir écrire régulièrement, malgré un emploi du temps bien chargé. J’ai encore énormément de progrès à faire, mais de voir que la pratique paie m’encourage à continuer. Un seul gros manque pour le moment : les feedbacks.

Un constat sans surprise car en réalité je n’ai pas consacré une seule seconde à la promotion du blog. Une tâche chronophage qui va vite s’avérer indispensable si je souhaite faire avancer les choses. L’idée est d’attendre la publication d’un premier Study Tip pour ensuite me lancer dans une grosse campagne de promotion sur Facebook. Les trois grosses séries seront alors entamées et il sera temps d’émanciper un peu le blog. Il y aurait plus rentable en terme de communication, mais dans un souci d’optimisation du temps, je préfère consacrer quelques heures tous les deux / trois mois à de grosses campagnes de promotion plutôt que de petites sessions plus régulières. Et dans une même optique, mon attention se portera sur deux vecteurs de communication seulement : Facebook et le mailing. Je préfère ne pas me disperser sur d’autres plateformes pour le moment. Quoi qu’il en soit, si vous estimez que le contenu que je partage ici peut être utile à d’autres, n’hésitez pas à en parler. Le bouche à oreille ne vieillit pas !

Quel est donc le problème majeur ? Mon mode de fonctionnement ne me permet pas d’écrire régulièrement dans la série Study Tips. Et c’est pourtant ce sur quoi je devrais fixer toute mon attention. C’est elle qui est sensée vous apporter le plus de valeur. Je tiens néanmoins à respecter l’objectif d’un JDB par semaine. Seulement, j’y accorde trop d’importance, au détriment d’autres activités plus importantes.

L’idée serait donc d’écrire un Study Tip de qualité toutes les deux semaines, tout en préservant le JDB hebdomadaire. Possible, mais un changement dans la forme s’impose.

Jusqu’à présent, je consacrais une partie non négligeable de mes week-ends aux JBD. Peu rentable, étant donné qu’en semaine je n’ai pas le temps de plancher sur un Study Tip à la préparation plus exigeante. L’inverse serait donc naturellement plus avantageux. Écriture d’un Study Tip un week-end sur deux. Ce qui me permettra de rentrer dans les détails et de produire un travail de qualité, tout en me libérant certains week-ends chargés en travail divers et varié. Puis JDB en cours de semaine, toujours publié le dimanche. Possible, car les écrire demande un travail de préparation assez limité. Toutefois, ce nouveau mode de fonctionnement engendrera à coup sûr quelques modifications dans la forme. J’aurai le temps de tester différents nouveaux formats et d’identifier les plus efficaces.

La résultante sera probablement des JDB aux sujets plus variés, bien que moins approfondis. Des idées jetées sur le papier auxquelles j’accorderai peut-être plus tard des billets plus complets. Cela dépendra de vos réactions. Si vous souhaitez en savoir plus sur l’une des idées que je partage, faites-moi signe et je ferai le nécessaire ! Pourquoi pas parler philosophie, cosmologie, écologie, mathématiques, zététique, voyage, vie de la cité (pour ne pas dire de gros mots), etc. Aussi, plus de réactions personnelles aux évènements de la semaine et de discussions sur l’évolution du blog. Enfin nous verrons bien. L’objectif au final est bien de recentrer mon attention sur les Study Tips, qui se doivent d’être l’essence même du blog.

Programme de la semaine à venir : pas mal de travail en vue des partiels qui arrivent à grand pas. Poursuite de l’apprentissage du LaTeX commencé cette semaine en autodidacte. Pas de Study Tips pour cette fois, mais la chronique d’un livre qui saura inspirer autant le novice que le passionné de mathématiques. Publication jeudi matin. À ne pas manquer ! JDB en fin de semaine, comme d’habitude.

Et pour finir, une petite précision nécessaire sur laquelle je vais devoir mieux communiquer à l’avenir : je ne suis pas fier des trente premiers billets publiés sur le blog. Je fais le choix de ne pas les retirer car le fond reste pleinement valide. Seule la forme me déplait. À l’époque de la création du blog, j’ai fait l’erreur de vouloir privilégier la quantité à la qualité, espérant ainsi réunir du trafic plus rapidement. La stratégie n’était pas durable et me poussait à produire un travail que j’estime aujourd’hui médiocre. C’est pourquoi désormais je mets l’accent sur la qualité. J’en retire du plaisir à écrire, et vous, je l’espère, du plaisir à me lire.

Gardez donc à l’esprit que tout ce qui a été publié de février à avril 2017 – bien qu’ayant un contenu toujours valable – ne reflète en aucun cas le standard de qualité que je poursuis aujourd’hui. Je reviendrai d’ailleurs longuement sur certaines thématiques abordées par le passé, dans de nouveaux billets autrement plus qualitatifs.

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JDB #Semaine 5 : Un premier avis sur le système universitaire

Semaine marquée par ce terrible sentiment dominant : la frustration, résultante de l’inefficacité. À mon niveau comme à un niveau plus général. Non pas que j’ai été inefficace d’un point de vue personnel, et dans les limites de ce que j’ai été capable de faire. Loin de là. Mais plutôt que le système dans lequel je suis obligé d’évoluer m’irrite au plus haut point.

Pour le moment, je n’ai pas vraiment d’autres choix que de composer avec ce qu’on me donne. Alors j’essaie de trouver des solutions. Ce blog en sera la vitrine. Mais parlons d’abord de ce qui ne va pas – de la source de la frustration. 

J’ai déjà évoqué cette problématique succinctement dans le JDB#2. « Mes études sont la seule chose qui m’empêche d’apprendre »disait Einstein. Et non pas sans raison. L’année dernière passée en autodidacte a été marquée par une évolution incroyablement rapide de mes connaissances. En un semestre, j’ai bouclé plus de trois ans de cours de maths. Bouclé dans le sens compris et maîtrisé, autrement ce serait trop simple. La caractéristique principale de ma méthode de travail – et je m’en rends compte maintenant que je ne peux plus l’appliquer – était de comprendre l’intégralité d’une notion au moment même où je la travaillais. Une sorte d’« apprentissage définitif » – bien que cette dénomination ne soit pas tout à fait correcte.

Un stylo, une feuille de papier, un bon livre ou internet, et je me plongeais corps et âme dans une notion, jusqu’à ce qu’elle n’ait plus aucun secret pour moi. Certains craindront que ce procédé soit trop long. Pas le moins du monde. Mettez-y un minimum d’intensité et d’amour pour ce que vous faites et vous aurez vite fait de témoigner de son efficacité.  

Désormais, me voilà en cours. Gros poids lourd sur cette saine liberté que je m’étais enfin octroyée.

L’efficacité liée à l’apprentissage définitif n’est plus. L’apprentissage définitif lui-même ne peut plus vraiment être. Les heures passées en cours ne nous permettent pas de tout comprendre – bien que ce soit ce vers quoi il faille tendre. Rythme parfois trop élevé. D’autres fois bien trop faible. Notion intéressante mais jugée marginale que l’enseignant estime non digne d’un réel approfondissement. Application aveugle de méthodes de résolutions sans chercher à comprendre les vérités sous-jacentes. Jonglage permanent entre les matières. Bref, manque d’optimisation et inefficacité ambiante.

Ce temps passé en classe se doit alors d’être décuplé en travail personnel – accroissant par la même occasion le manque d’optimisation. La quantité est variable. En général on s’accorde à doubler. Pour deux heures de cours, comptez deux heures de travail personnel. Quatre en tout, là où l’apprentissage définitifaurait bouclé le tout en à peine plus de deux heures. Et encore je me base sur la quantité assez pauvre d’informations traitées en cours. Certes, un peu plus de temps sera nécessaire pour faire les choses bien, mais le bénéfice qu’on en tirera justifiera amplement la démarche.

Un exemple. Mardi, TD de préparation pour un TP d’introduction au calcul scientifique (presque ironique l’intitulé). 1h30 de cours, pendant lesquelles nous avons parlé du codage des entiers naturels par les machines numériques. Du binaire. Rien de bien sorcier. Puis du codage des nombres réels. Ok, signe, exposant, mantisse … un peu plus complexe, mais ça va. Le fait est qu’une simple petite recherche sur internet nous permet de trouver des cours, totalisant une même durée, et incroyablement plus complets et pédagogiques. Codage des entiers relatifs, complément à 2, domaines couverts, nombres binaires à virgule flottante, à virgules fixes, standard IEEE 754, et le tout parsemé de petites informations de culture générale dont je suis friand. Comme l’introduction du 0 et du système de numération décimal basé sur la position par Brahmagupta en Inde en 600 de notre ère. Puis plus tard au 13e siècle en occident par Fibonacci. Voilà le type d’anecdotes historiques et de petits savoirs qui rendent l’apprentissage enthousiasmant.

Travailler directement sur ces ressources en ligne aurait certainement pris un peu plus de temps qu’assister au cours en présentiel. Mais en somme, les informations enregistrées, en plus d’être plus complètes, auraient surtout bénéficié de l’apprentissage définitif. Le tout pour une meilleure optimisation du temps et de l’énergie disponible.

Jeudi, le TP associé. Trois heures. J’aurais infiniment préféré les allouer à des maths plus esthétiques que cette discrétisation disgracieuse.

Le constat que je dresse ici est tristement généralisable à bien trop d’autres heures de cours. Mercredi, 1h30 de TP (d’introduction encore) – que j’avais quasiment bouclé en 30 minutes la veille au soir. Vendredi, trois heures de maths en fin de journée. Qui de notre prof ou des élèves étaient les plus motivés à bosser, je me le demande ! Mais tout n’était pas perdu. Entre deux calculs de limites nous avons pu profiter d’illuminants conseils sur la vie de couple !

Je ne ferais pas autant de bruit si cela n’impactait pas mes capacités à faire les maths que j’aime et de la manière qui me semble la plus efficace. Depuis septembre que j’ai repris les cours, j’ai la mauvaise impression d’avoir guère progressé sur quoi que ce soit. Et ce n’est pas faute d’enseignements intéressants. Nous travaillons sur la logique, sur la mise en place de raisonnements mathématiques classiques et sur la théorie des ensembles. Ces notions ne sont pas toutes évidentes. Et ce sont là des prérequis indispensables pour qui veut faire des maths plus avancées. J’aimerais pouvoir les travailler plus efficacement. Idem pour ce qui a trait à la technicité, à la performance en calcul pur et dur. La pratique est de mise. Trop de cours non optimisés rendent cette pratique très limitée. Et c’est bien dommage.

Travailler plus serait une solution. Moins dormir. Prendre moins de temps pour soi. Mais ce n’est pas le but. D’autant plus que la solution ne serait pas durable. Des solutions durables il en existe. C’est mon boulot de les identifier et de les mettre à l’épreuve pour, à terme, vous transmettre celles qui fonctionnent.

Bon j’arrête de me plaindre ! Il fallait juste que ça sorte. Histoire d’y voir un peu plus clair dans ce qui ne va pas, pour espérer apporter en définitive des solutions viables et profitables à tous.

J’aimerais toutefois finir sur une note positive en n’oubliant pas tous les avantages que me confère cette présence à l’université. Notamment le challenge que représente l’effort d’optimisation des méthodes de travail à ce nouvel environnement. Savoir s’adapter à toute situation est une grande qualité à acquérir. Et pour ça, pas d’autres choix que de sortir de sa zone de confort.

Plus encore que l’adaptation, il faut en toutes circonstances apprendre à mettre à profit le meilleur de ce que la vie nous offre. Malgré tous ses défauts, ce serait être de mauvaise foi de ne pas reconnaître tous les avantages de l’université. Stimulation intellectuelle. Dialogue avec des professionnels passionnés. Vie associative. Conférences. Une offre sportive et culturelle extrêmement variée. Échanges internationaux. Rencontres. Ouverture à de nouveaux domaines d’études. Et j’en passe !

Dans ce monde-là, une once d’audace suffit à dévoiler d’innombrables opportunités rêvées.

Sur ces mots – bonne semaine à tous !

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